Bobler en masse

Bobler en masse: Flader med konstant middelkrumning

Ved denne øvelse skal du se nogle helt oplagte sæbebobleeksperimenter, og du får en introduktion til det centrale geometriske begreb middelkrumning af en flade. Begrebet introduceres direkte ud fra krumningsbegrebet for plane kurver, sådan som det f.eks. er gennemgået i kapitel 6 i gymnasiebogen Hvad er Matematik? A af Bjørn Grøn m.fl.
Karakteristika for skumstrukturer, sæbeskum og ølskum

Joseph Plateau observerede i 1873 at der er præcis to vinkler, der bestemmer den lokale struktur omkring kanterne (1-skelettet) og knudepunkterne (0-skelettet) i enhver skumstruktur, sæbe- eller øl-skum, for eksempel:

  1. Væggene (2-skelettet) mødes altid 3 ad gangen langs kanterne med 120 grader mellem hvert par af vægge.
  2. Kanterne mødes selv altid 4 ad gangen med arccos(-1/3) mellem hvert par af kanter.

De flader, der udgør væggene imellem boblekamrene i skummet, har derudover hver sin konstante middelkrumning, som er proportional med forskellen mellem trykkene i de to respektive nabokamre.

Middelkrumning af en flade

Oplægget går især ud på at introducere det ovenfor nævnte centrale begreb: middelkrumning af en flade. Dette gøres direkte ud fra krumningsbegrebet for plane kurver, sådan som det f.eks. er dyrket og gennemgået i kapitel 6 i gymnasiebogen Hvad er Matematik? A af Bjørn Grøn m.fl.

Konstruktion af omdrejningsflader

Den anden del af oplægget vil antyde (uden bevis), hvordan alle omdrejningsflader med konstant middelkrumning (de såkaldte Delaunay-flader) kan konstrueres via nogle meget konkrete og meget klassiske rulningskonstruktioner med (de velkendte?) keglesnit.

Delaunay-flader har konstant middelkrumning

Det kan forhåbentlig inspirere dels til at undersøge nærmere (og bevise) hvorfor Delaunay-fladerne har konstant middelkrumning, og dels til at studere de mere avancerede moderne konstruktioner af hele klassen af flader med konstant middelkrumning – udover de omdrejningssymmetriske, som selvsagt kun udgør en meget lille delmængde.

Anvendelser og eksperimenter

Den tredje ingrediens i oplægget vil være pejlinger til en mangfoldighed af anvendelser (f.eks. i bilindustrien og i biologien) og til interessante eksperimenter, der i udgangspunktet kan udføres med meget lidt grej til rådighed.

For eksempel: Hvordan kan omdrejningsfladerne med konstant middelkrumning konstrueres i laboratoriet – og hvordan måles det indre tryk og radius med henblik på at relatere de størrelser til hinanden og dermed verificere påstanden om at trykforskellen er proportional med middelkrumningen.

Tidspunkt og tilmelding

Tidspunkt:
Mandag d. 13. november
Kl. 9.00-16.00

Antal deltagere:
20

Tilmelding:
Åbner 11. oktober på
www.dtu.dk/SRP

Relevante gymnasiefag

Eksperimentelle fag
  • Matematik

Kan kombineres med

  • Fysik
  • Kemi
  • Biologi

Arrangør og adresse

DTU Compute, Institut for Matematik og Computer Science

Matematicum, rum 134, bygn. 303B (1. sal Øst), DTU Lyngby campus

Kontakt

Steen Markvorsen
Professor
DTU Compute
45 25 30 49